SKKN Một số kỹ năng giải toán hình học không gian cho học sinh Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Võ Thị Ngọc Nguyệt

Nội dung text: SKKN Một số kỹ năng giải toán hình học không gian cho học sinh Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Võ Thị Ngọc Nguyệt

1. 2.Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ()SABABCD ()  , H là trung điểm của AB, SH HC,. SA AB Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD . S Giải: 1 a Ta có: AHAB , SAAB a , 22 A a 5 D SH HC BH22 BC . 2 H 5a2 Vì SA222 AHAH nên tam 4 B a C giác SAH vuông tại A hay SAAB mà (SAB ) (). ABCD Do đó, SA () ABCD và AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mp ABCD . SA 2 Ta có: (SC ,( ABCD )) SCA, tanSCA . AC 2 2 Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD là góc có tang bằng . 2 Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a 6. Tính sin của góc S giữa: a) SC và SAB . b) AC và SBC . H A D Giải: a) Ta có: BC AB (gt) và SA BC (vì B C SA () ABCD ) BC () SAB Trang 35
2. Tính số đo của góc giữa BA' C và DA' C Giải: B' C' Kẻ BH A' C , (' H ) A C (1) A' Mặt khác, ta có: BDAC (gt), D' AA' ()' ABCD  AA BD BD  ( ACA ')'  BD A C(2) H B Từ (1) và (2) suy ra: C A' C () BDH '  A C DH . Do đó, ((BA '),( C DA '))( C HB , HD ). A D 1113 BH2222 BC BAa'2 + Xét tam giác vuông BCA' có: 22 BH aDH a 33 21BH22 BD + Ta có: cos120BHDBHD 0 . 22BH 2 Vậy ((BA ' C ),( DA ' C )) 600 AB . Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.''' A B C đáy ABC là tam giác cân C' B' AB AC a, BAC 1200 , BBa' và I là trung điểm của CC '. Tính cosin của A' góc giữa hai mp ABC và AB'. I I Giải: Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu C B vuông góc của tam giác AB' I lên mặt phẳng ABC . Gọi là góc giữa hai A mặt phẳng ABC và AB'. I Theo S công thức hình chiếu ta có: cos ABC . SAB' I Trang 37
3. Bài tập 6: Cho hình chóp S., ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAABCD và SA a 6.Tính góc giữa: a) SC và ABCD b) SC và SAB c) SB và SAC d) AC và SBC Bài tập 7: Cho lăng trụ ABC.''' A B C có đáy là tam giác đều cạnh a, AAABC'  Đường chéo BC ' của mặt bên BCC'' B hợp với ABB'' A góc 300. a) Tính AA'. b) Gọi N là trung điểm cạnh BB'. Tính góc giữa MN và BA'' C . Bài tập 8: Cho hình chóp S., ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA BC a; SA ABC và SA a. Gọi EF, lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC. a) Tính góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC . b) Tính góc giữa hai mặt phẳng SEF và SBC . Bài tập 9: Cho hình chóp S., ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB 2; a SA ABCD và SA a 3. a) Tính góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC . b) Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD . Bài tập 10: Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA ABCD và SA a 3. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau: a) SBC và ABC b) SBD và ABD Trang 39
4. 2. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S. ABC đáy ABC có cạnh bằng a , mặt bên tạo với đáy một góc . Tính d( A ,()) SBC theo a và . Giải: S + Gọi I là trung điểm của BC SI BC  + Ta có:  BC() SAI và SIA AI BC H + Kẻ AH SI ( H SI ) mà C SI () SAISBC () nên AHSBC (). A Do đó, d( A ,()) SBCAH I + Mặt khác, xét tam giác vuông AHI có: B a 3 AH AI.sin .sin 2 a 3 Vậy, d( A ,( SBC )).sin AH 2 Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD đáy ABCD là S hình vuông cạnh a, SA () ABCD , SAa 2. a) Tính d( A ,()) SBC b) Tính d( A ,()) SBD H K Giải: D A a) Kẻ AH SB ( H SB ) (1) O Ta có: SA( ABCD ) SA  BC (*) và B C AB BC (gt) ( ) . Từ (*) và ( ) suy ra: BC( SAB ) BC  AH (2) . Từ (1) và (2) ta có: AH () SBC hay d( A ,( SBC )) AH Trang 41
5. Suy ra, AID DFC AID DFC, ADI DCF mà AID ADIDFC 909000 ADI hay FCID ( ) + Từ (*) và ( ) ta có: FC () SID  IH FC (2). Từ (1) và (2) suy ra: IHSFC () hay d( I ,()) SFCIH + Ta có: a3 aa 5 1 1 1 55 SI ,, IDDK 2 25 DK2 DC 2 DF 2 a 2 35a IK ID DK 10 1 1 1 323 2 a 32a Do đó, IH . Vậy, d( I ,()) SFC IH2 SI 2 IK 298 a 2 8 Ví dụ 4: (B-2011) Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ', ABCD là hình chữ nhật, AB a,3 AD a . Hình chiếu vuông góc của A' trên ABCD trùng với giao điểm của AC và BD. Tính d( B ',( A ' BD )) B' C' Giải: A' + Gọi O  AC BD D' Vì BCCD'//' nên B'//' C A BD . B C O Do đó, H A D dB(',(' ABD )) dBC (',(' ABD )) dC (,(' ABD )) + Trong mặt phẳng ABCD kẻ CH BD, ( H BD ) (1) . Mặt khác: A'() O ABCD A' O CH (2) Từ (1) và (2) suy ra: CH( A ' BD ) d ( B ',( A ' BD )) CH 1 1 1 4a 3 + Xét tam giác vuông BCD có: CH . CH2 BC 2 CD 234 a 2 Trang 43
6. Giải: Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. a) Trong mặt phẳng SBD kẻ DH SB, () H (1) SB . 1 S + Vì BM ADCD Tam giác BCD 2 vuông tại B hay BCBD (*) . H Mặt khác, vì M SD () ABCD ( )  SD BC . D C Từ (*) và ( ) ta có: BC ( SBD ) (2) BC DH . A B Từ (1) và (2) suy ra: DHSBC () hay d( D ,()) SBCDH E + Xét tam giác vuông SBD có: 1 1 1 3 2a 3 DH . DH2 SD 2 BD 223 a 2 23a Vậy, d( D ,( SBC )) 3 d( A ,( SBC )) AE AB 1 1 a 3 b) Ta có: d( A ,( SBC )) d ( d ,( SBC )) . d( D ,( SBC )) DE CD 2 2 3 a 3 Vậy, d( A ,( SBC )) 3 Ví dụ 4: (D-2011) Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA 3 a , BC 4 a , (SBC ) ( ABC ), SB 2 a 3, SBC 300 . Tính d( B ,( SAC )). Giải: + Trong mặt phẳng SBC kẻ SM BC ( M BC ) trong mặt phẳng ABC kẻ MN AC ( N AC ) trong mặt phẳng SMN kẻ MH SN ( N SN ) . Suy ra, MH( SAC ) d ( M ,( SAC )) MH Trang 45
7. Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có ABa , tất cả các A cạnh còn lại bằng 3.a Tính d(,) AB CD Giải: + Gọi IJ, lần lượt là trung điểm của CD và AB. J + Vì ACD và BCD là các tam giác đều nên: CD AI,( CD  ) (1) BI CD  AIB CD  IJ D Mặt khác, ACDACD nên tam giác AIB cân tại B I. Do đó, IJ AB (2) I + Từ (1), (2) suy ra: IJ là đường vuông góc chung C của AB và CD. 2 2 22 3aa 326 a + Ta có: IJ AI AJ . 2 2 2 a 26 Vậy d(,) AB CD 2 Ví dụ 2: (A_2010) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi MN, lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM. SH ( ABCD ), SH a 3 . Tính d( DM , SC ). S Giải: K + Trong mp SCH kẻ HK SC(1), ( K SC ) . D C N + Mặt khác: H A M B SH () ABCD   SH DM (*) DM () ABCD  Xét hai tam giác vuông AMD và DNC có AM DN, AD DC AMD DNC . AMD DNC  00 Từ đó ta có: ADM DCN DNC ADM 90 NHD 90 AMD ADM 900  Trang 47
8. Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng a 2 . Tính d(,). AD SB S Giải: + Vì AD/ /( SBC , ) d AD( ,(SB d)) AB SBC H A + Gọi O  ACBD . IJ, lần lượt là trung điểm B của AD và BC. I O J D + Trong mp SIJ kẻ IH SJ,() H (1) SJ . C SO () ABCD  SO BC  BC() SIJ Theo giả thiết ta có: IJ// AB  IJ BC  IH BC (2) Từ (1), (2) suy ra: IHSBC () hay d(, AD ) SBIH 1 1SO . IJ + Xét tam giác SIJ có: S IH SJ SO IJ IH . Với: IJ=a, SIJ 22 SJ 3. 7 a SO SA2 AO 2 a., SJ SB 2 BJ 2 . 24 SO. IJ 2 a 21 Suy ra: IH . SJ 7 2a 21 Vậy d(,) AD SB IH 7 Ví dụ 5: Cho hình chóp S., ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD là tam giác đều, SAD vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính d( SA , BD ). Giải: S + Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD. Gọi O  AC BD; IM, lần lượt là trung điểm của AD và OD; N  d IM. H D C M + Ta có: I O N A B d(, SA BD ) d ((,), SA d BD ) d (,(,)) M SA d Trang 49
9. Từ (*), ( ) ta có: IN ( SAJ ) (2) IN AH . Từ (1), (2) ta có: AH ()(,) SIN d AB SN AH . + Ta có: ((SBC ),( ABC )) SBA 60.tan6000 SA ABa 2 3 ; AJ BI a . 1 1 1 1312 + Xét tam giác vuông SAJ có: AH a. . AH2 SA 2 AJ 212 a 2 13 a. 156 Vậy d(,) AB SN AH 13 3.3. Bài tập a 3 Bài tập 1: Cho hình chóp S., ABCD SA a các cạnh còn lại bằng . 2 Chứng minh: SASC . Tính d( S ,()). ABCD Bài tập 2: (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ', đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA a , AA ' 2 a . Gọi M là trung điểm của ACI' ', là giao điểm của AM và AC'. Tính d( A ,( IBC )) Bài tập 3: Cho hình chóp S., ABC SA 3 a , SA  ( ABC ), AB 2 a , ABC 1200 . Tính d( A ,()) SBC Bài tập 4: (D-2007) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang , ABC BAD 900 , BA BC a, AD 2 a , SA () ABCD , SA a 2 . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính d( H ,( SCD )) Bài tập 5: Cho hình chóp S., ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, BCD 600 đường cao SO a. Tính d( AD , SB ). Bài tập 6: (D-2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.''' A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,, BA BC a AA'2 a . Gọi M là trung điểm của BC. Tính d( AM , B ' C ). Trang 51
10. Bài tập 13: Cho hình chóp S., ABCD có SAABCD và SAa 6 đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD 2. a a) Tính các khoảng cách từ AB, đến mặt phẳng SCD . b) Tính khoảng cách từ AD đến mặt phẳng SBC . c) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S. ABCD với mặt phẳng P song a 3 song với mặt phẳng SAD và cách SAD một khoảng bằng . 4 Bài tập 14: Cho hình lăng trụ ABC.''' A B C có AAABC'  và AAa' đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC 2 a ; AB a 3. a) Tính khoảng cách từ AA' đến mặt phẳng BCC''. B b) Tính khoảng cách từ A đến A' BC . c) Chứng minh rằng AB ACC'' A và tính khoảng cách từ A' đến mặt phẳng ABC ' . Bài tập 15: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ABCD và SAa 2. a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC , từ C đến mặt phẳng SBD . b) MN, lần lượt là trung điểm của AB;. AD Chứng minh rằng MN// SBD và tính khoảng cách từ MN đến SBD . c) Mặt phẳng P qua BC cắt các cạnh SA, SD theo thứ tự EF,. Biết AD cách a 2 P một khoảng là , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng P và diện 2 tích tứ giác BCFE. Trang 53
11. Hiệu Quả Của Sáng Kiến Kinh Nghiệm: Qua quá trình giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm tôi nhận thấy để dạy cho học sinh học tốt môn hình học không gian thì cần phải hệ thống lại kiến thức, nắm được các phương pháp chứng minh, lập luận chặt chẽ, lôgíc, Ngoài ra cần giúp cho học sinh tư duy hình ảnh, rèn kỹ năng vẽ hình. Từ đó giúp học sinh tiếp thu kiến thức ngày càng tốt hơn, hiệu quả giảng dạy của giáo viên cũng được nâng dần. Kết quả thực nghiệm: Kết quả kiểm tra 1 tiết Chương Hình học không gian lớp 11 Tỉ lệ Lớp Sỉ số Năm học Dưới TB Trên TB 11C3 30 2015-2016 15 15 11C9 29 2015-2016 13 16 11C1 34 2016-2017 2 32 11C8 34 2016-2017 7 27 11C1 34 2017-2018 0 34 11C8 29 2017-2018 4 25 Trang 55