Hệ thống kiến thức môn Toán Lớp 10

Nội dung text: Hệ thống kiến thức môn Toán Lớp 10

1. ÔN TẬP TOÁN 10 PHẦN 1 – ĐẠI SỐ I. MỆNH ĐỀ • Mệnh đề là một câu khẳng định chỉ đúng hoặc chỉ sai. Câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng; câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. • Mệnh đề “không phải 푃” được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề 푃, ký hiệu là 푃. Nếu 푃 là mệnh đề đúng thì 푃 là mệnh đề sai và ngược lại. • Mệnh đề “Nếu 푃 thì 푄” được gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu 푃⇒푄. Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi 푃 đúng và 푄 sai. Mệnh đề 푄⇒푃 được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề 푃⇒푄. • Nếu cả hai mệnh đề 푃⇒푄 và 푄⇒푃 đều đúng thì ta nói hai mệnh đề 푃 và 푄 tương đương nhau (hai mệnh đề tương đương), ký hiệu 푃⇔푄. • Ký hiệu ∀ đọc là với mọi; ký hiệu ∃ đọc là tồn tại. Hai ký hiệu này phủ định lẫn nhau. Ví dụ: Cho mệnh đề 푃: “∀ ∈ ℝ : 2 +1 > 0” thì 푃: “∃ ∈ ℝ : 2 +1 ≤ 0” II. TẬP HỢP • Tập hợp là một khái niệm cơ bản của Toán học, không định nghĩa. • Nếu là phần tử của tập hợp thì ta viết ∈ . Nếu không phải là phần tử của tập thì ta viết ∉ . • Có hai các xác định tập hợp: o Liệt kê tất cả phần tử của tập hợp. Khi liệt kê các phần tử, ta viết chúng trong hai dấu móc { }. o Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp. • Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu ∅. • Nếu mọi phần tử của tập đều thuộc tập thì ta nói là tập hợp con của và ta viết ⊂ . Các tính chất: o Mọi tập hợp đều là tập con của chính nó. o Nếu ⊂ và ⊂ thì ⊂ . o Tập rỗng là con của mọi tập hợp. • Nếu ⊂ và ⊂ thì ta nói và là hai tập hợp bằng nhau, ký hiệu = . III. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP • GIAO của hai tập hợp và , ký hiệu là ∩ , là tập hợp gồm các phần tử chung của và . • HỢP của hai tập hợp và , ký hiệu là ∪ , là tập hợp gồm các phần tử chung và riêng của và (hay chính là tất cả các phần tử của hai tập này).
2. • Tập 풟 gọi là tập xác định của hàm số và được định nghĩa là tập hợp các giá trị thực của sao cho biểu thức ( ) có nghĩa. Dạng hàm số Tập xác định Ví dụ = 푛 + + Các hàm số = 2 + 3 hoặc = 2 2 ―3 + 5 1 푛 풟 = ℝ (Hàm đa thức) đều có tập xác định là ℝ. Tìm tập xác định của hàm số: 2 = 3 + 12 풚 = Giải 푷(풙) 풟 = { ∈ ℝ | 푃( ) ≠ 0} Hàm số xác định khi 3 + 12 ≠ 0⇔ ≠ ―4 (Hàm có mẫu) Vậy 풟 = { ∈ ℝ | ≠ ―4}. Chú ý, ta cũng có thể viết: 풟 = ( ―∞; ― 4) ∪ ( ―4; + ∞) Tìm tập xác định của hàm số: = 6 ― 2 풚 = 푷(풙) 풟 = { ∈ ℝ | 푃( ) ≥ 0} Giải (Hàm chứa căn) Hàm số xác định khi 6 ― 2 ≥ 0⇔ ≤ 3. Vậy: 풟 = { ∈ ℝ | ≤ 3} hay 풟 = ( ―∞;3]. Tìm tập xác định của hàm số: 2018 풚 = = 푷(풙) 6 ― 2 풟 = { ∈ ℝ | 푃( ) > 0} (Hàm chứa căn ở Giải mẫu) Hàm số xác định khi 6 ― 2 > 0⇔ ( 2) • Đồ thị của hàm số đồng biến hướng lên theo chiều tăng của ; Đồ thị hàm số ngịch biến hướng xuống theo chiều tăng của .  Tính chẵn – lẻ của hàm số: • Hàm số = ( ) với tập xác định 풟 được gọi là hàm số chẵn nếu x D x D f x f x • Hàm số = ( ) với tập xác định 풟 được gọi là hàm số lẻ nếu x D x D f x f x
3. b o Hàm số nghịch biến trên ; 2a > 0 0 hoặc bề lõm quay xuống khi < 0. V. PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH  Đại cương về phương trình: • Phương trình ẩn là biểu thức có dạng: ( ) = ( ). Trong đó, ( ) và ( ) là các biểu thức của biến . Ta gọi ( ) là vế trái, ( ) là vế phải và là biến (ẩn) của phương trình. • Số 0 thỏa mãn ( 0) = ( 0) được gọi là nghiệm của phương trình. • Giải phương trình là đi tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. Nếu phương trình không có bất kỳ nghiệm nào thì ta nói phương trình vô nghiệm. • Điều kiện của phương trình: là điều kiện của biến để ( ) và ( ) cùng có nghĩa. • Phương trình nhiều ẩn: là phương trình có nhiều hơn một chữ cái đóng vai trò là ẩn. • Phương trình chứa tham số: là phương trình mà ngoài những chữ cái đóng vai trò là ẩn thì còn có những chữ cái đóng vai trò là tham số.  Phương trình hệ quả - phương trình tương đương: • Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. • Các phép biến đổi tương đương là các phép biến đổi mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình ban đầu. • Phương trình (1) được gọi là hệ quả của phương trình (2) nếu tập nghiệm phương trình (2) là tập con của tập nghiệm phương trình (1).  Phương trình bậc nhất • Dạng: + = 0 ( ≠ 0). b • Nghiệm: x . a • Giải và biện luận: Hệ số Kết luận b ≠ 0 Phương trình có nghiệm duy nhất: x a = 0 Phương trình có vô số nghiệm = 0 ≠ 0 Phương trình vô nghiệm  Phương trình bậc hai
4. PHẦN 2 – HÌNH HỌC I. VECTƠ  Các định nghĩa: • Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. • Ta viết để chỉ vectơ có điểm đầu là và điểm cuối là . Khi không cần chỉ rõ điểm đầu điểm cuối thì ta có thể ký hiệu vectơ bởi một chữ cái in thường: , , • Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. • Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau thì cùng phương. Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Ba điểm , , thẳng hàng khi và chỉ khi và cùng phương. • Độ dài của một vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của nó. Ký hiệu độ dài của vectơ là: | |. Như vậy | | = = . Vectơ có độ dài bằng 1 là vectơ đơn vị. • Hai vectơ cùng hướng và có độ dài bằng nhau được gọi là hai vectơ bằng nhau. Từ một điểm và vectơ 푣 cho trước, ta chỉ có thể xác định được một và chỉ một điểm sao cho = 푣. • Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ký hiệu 0. Ta quy ước vectơ-không cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.  Phép cộng hai vectơ: • Cho hai vectơ và . Lấy bất kỳ, vẽ = và = . Khi đó vectơ là tổng của hai vectơ và , ta viết là: + = . • Các tính chất: o + = + . o + + = + + = + + . o + 0 = 0 + = . • Các quy tắc: o Quy tắc cộng: Với ba điểm , , thì ta có: + = . o Quy tắc hình bình hành: Nếu là hình bình hành thì ta có: + = .  Phép trừ hai vectơ: • Vectơ cùng độ dài, ngược hướng với được gọi là vectơ đối của , ký hiệu là ― . • Hiệu của vectơ và được xác định bằng tổng của và vectơ đối của . Như vậy: ― = + ― . • Với ba điểm , , thì ta luôn có: ― = (quy tắc trừ ba điểm).
5. • Tọa độ vectơ: = ( 1; 2)⇔ = 1푖 + 2푗. • Tọa độ điểm: ( ; )⇔ = 푖 + 푗. • Nếu ( ; ) và ( ; ) thì ta có = ( ― ; ― ). • Biểu thức tọa độ các phép toán: Cho = ( 1; 2); 푣 = (푣1;푣2) và ∈ ℝ: ▪ + 푣 = ( 1 + 푣1 ; 2 + 푣2) ▪ ― 푣 = ( 1 ― 푣1 ; 2 ― 푣2) ▪ . = ( 1 ; 2). • Cho = ( 1; 2); 푣 = (푣1;푣2) với 푣 ≠ 0. Khi đó, và 푣 cùng phương khi và chỉ khi u1 kv1 u u tồn tại số sao cho 1 2 u2 kv2 v1 v2  Trung điểm của đoạn thẳng: Cho đoạn thẳng với ( ; ) và ( ; ). x x x A B I 2 Tọa độ trung điểm của đoạn được xác định bởi: y y y A B I 2  Trọng tâm của tam giác: Cho tam giác có ( ; ), ( ; ) và ( ; ). x y y x A A C G 3 yA yB yC Tọa độ trọng tâm của tam giác này xác định bởi: yG 3 zA zB zC zG 3 HẾT