Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán năm 2019 - Sở GD&ĐT An Giang (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán năm 2019 - Sở GD&ĐT An Giang (Có đáp án và thang điểm)

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH AN GIANG Khóa ngày 20 - 4 - 2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : TOÁN (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (4,0 điểm) Tìm để phương trình sau đây có đúng một nghiệm 2 2 − = 4 − 2 2 − Câu 2. (4,0 điểm) 1 Cho ham số = = sin − . sin 2 − sin 3 + 2 . Xác định ̀ 3 để ′ ≥ 0 ∀ ∈ ℝ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a Câu 3. (4,0 điểm) b Bảng hình vuông (10 × 10) gồm 100 hình c vuông đơn vị. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật tạo d thành từ các hình vuông đơn vị của bảng. Tính số e f hình chữ nhật có diện tích là số chẵn các hình g vuông đơn vi. ̣ h i Câu 4. (3,0 điểm) k 1 2 Trên măṭ phẳng toạ đô ̣ cho ba điểm −1; 1 ; ; ; ; − 2 trong đó là một số thực dương thay đổi cho trước. Tìm tọa độ hai điểm ; để diêṇ tích tam giác đaṭ giá tri ̣nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 5. (3,0 điểm) 4 Cho day số ( ) thỏa = ; = 2 − 2 + 2, (∀푛 ∈ , 푛 ≥ 1). ̃ 푛 1 3 푛+1 푛 푛 Đặt 푣 = 1. 2 . a) Tính 2; 3. b) Xét tính hội tụ và tính giới hạn của dãy (푣 ). Câu 6. (2,0 điểm) Cho tứ diện , môṭ điểm bất kỳ nằm trong tứ diêṇ , gọi 1; 2; 3; 4 là khoảng cách từ đến các điểm ; ; ; và 1; 2; 3; 4 lần lươṭ là khoảng cách từ đến các mặt ; ; ; . Chứ ng minh rằng: 1 + 2 + 3 + 4 ≥ 2 1 2 + 2 1 3 + 2 1 4 + 2 2 3 + 2 2 4 + 2 3 4 Hết
2. + Tính số hình chữ nhật có diện tích lẻ, Hình chữ nhât có diện tich lẻ khi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật phải là số lẻ hay khoảng cách giữa hai đườ ng (đứ ng và ngang) phải là số lẻ. Chọn hai đường thẳng đứng có khoảng cách lẻ 1; 3; 5; 7; 9 Khoảng cách bằng 1 có 10 cách, khoảng cách bằng 3 có 8 cách, khoảng cách bằng 5 có 6 cách khoảng cách bằng 7 có 4 cách, khoảng cách bằng 9 có 2 cách. Vâỵ có 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 30 cách chọn hai đường thẳng đứng, tương tư ̣ có 30 cách chọn hai đường nằm ngang. Có 30 × 30 = 900 hình chữ nhật có diện tích là số lẻ. Vâỵ có 3025 − 900 = 2125 hình chữ nhật có diện tích là số chẵn. 1 2 −1; 1 ; ; ; ; − ; > 0 2 1 = + 1; − 1 ; 2 = + 1; − − 1 2 1 2 1 1 3 5 3,0 Câu 4 푆 = + 1 − − 1 − − 1 + 1 = − − − . 2 2 2 2 2 điểm 2 3 5 3 3 5 5 6 = + + = − + + ≥ + . 2 4 4 4 2 2 4 4 2 3 6 6 6 Dâu bằng xay ra khi = ⟺ = 6 ⟹ 6; ; ; − . ̉ 4 2 6 2 3 5 6 6 6 6 Vâỵ GTNN 푆 = + ; tọa độ hai điểm là 6; ; ; − . 4 2 6 2 3 4 Cho day số ( ) thỏa = ; = 2 − 2 + 2, (∀푛 ∈ , 푛 ≥ 1). ̃ 푛 1 3 푛+1 푛 푛 0,5 Đặt 푣 = 1. 2 . Xét tính hội tụ và tính giới hạn của dãy (푣 ). 16 8 10 100 20 82 6562 điểm = − + 2 = ; = − + 2 = ; = 2 9 3 9 3 9 3 81 4 6561 2 2 Ta có: 푛+1 = 푛 − 2 푛 + 2 ⟺ 푛+1 − 1 = 푛 − 1 푛 −1 1 ⟺ − 1 = − 1 2 = ⋯ = − 1 2 = 푛 푛−1 1 32푛 −1 1 1 ⟹ 푛 = 1 + ⟹ 푣 = 1 + 32푛 −1 32 −1 푖=1 1 Câu 5 Nhân hai vế cua 푣 cho 1 − ta đươc̣ ̉ 3 1 1 1 1 2,5 1 − 푣 = 1 − 0 1 + −1 = 1 − điểm 3 32 32 32 푖=1 1 3 3 ⟹ 푣 = 1 − . 1 − +1 ⟺ < +1 32 32 32 32 3 bị chặn trên bởi và 2 3 푙푖 푣 = . 2 Gọi độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ ; ; ; lần lươṭ là ℎ1; ℎ2; ℎ3; ℎ4. Diêṇ tich các măṭ tứ diêṇ ; ; ; lần lươṭ là 푆 ; 푆 ; 푆 ; 푆 2,0 Câu 6 1 2 3 4 Ta có 1 + 1 ≥ ℎ1 ⟹ 1푆1 + 1푆1 ≥ ℎ1푆1 điểm Tương tư ̣ 2푆2 + 2푆2 ≥ ℎ2푆2