Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán năm 2018 - Sở GD&ĐT An Giang (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán năm 2018 - Sở GD&ĐT An Giang (Có đáp án và thang điểm)

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH AN GIANG Khóa ngày 14 - 4 - 2018 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : TOÁN (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (3,0 điểm) Cho hai số thực 훼; 훽 thỏa 훼3 − 3훼2 + 5훼 = 1; 훽3 − 3훽2 + 5훽 = 5 Tính 훼 + 훽. Câu 2. (2,0 điểm) Cho ba số > 1; > 1; > 1 chứng minh rằng: 2 2 2 + + ≥ 12 − 1 − 1 − 1 Câu 3. (3,0 điểm) 1 + 1 + 2 1 + 4 = 1 + 7 Giải hệ phương trình 1 + 1 + 2 1 + 4 = 1 + 7 Câu 4. (3,0 điểm) Có bao nhiêu số ∈ 0; 2018 để giá trị của bằng không, với = a. cos + 1 + . cos + 2 + . cos( + 3) trong đó ; ; là các số thực bất kỳ sao cho ( ) nhận hai giá trị bằng không trên khoảng (0; ). Câu 5. (3,0 điểm) Cho dãy số ( 푛 ) xác định như sau: 0 = 1; 1 = 1; 푛(푛 + 1) 푛+1 = 푛 푛 − 1 푛 − 푛 − 2 푛−1; ∀푛 ≥ 1 Tính 푆 = 0 + 1 + 2 + ⋯ + 2017 1 2 3 2018 Câu 6. (3,0 điểm) Trong một hộp có 8 viên bi xanh và 10 viên bi đỏ kích cỡ giống hệt nhau. Bạn An lấy ngẫu nhiên 01 viên bi (lấy xong không trả vào hộp), tiếp đó bạn Bình lấy 01 viên bi. Tính xác suất để Bình lấy được viên bi xanh. Câu 7. (3,0 điểm) Cho tứ diện có các cạnh đều bằng . Gọi ; lần lượt là trung điểm của và . Tính độ dài và góc hợp bởi và . Hết
2. Ta có với ≠ 1 1 − 8 1 + 1 + 2 1 + 4 = 1 − Do vài trò ; như nhau, giả sử ≥ Trường hợp 1 Nếu = Ta được phương trình 1 + + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1 + 7 ⟺ 5 + 4 + 3 + 2 + + 1 = 0 + 1 4 + 2 + 1 = 0 ⟺ = 0; = −1 Vậy hệ có nghiệm 0; 0 ; (−1; −1) Trường hợp 2 Nếu > + Nếu > > 0 1 + 1 + 2 1 + 4 = 1 + + ⋯ + 7 > 1 + 7 > 1 + 7 Hệ vô nghiệm + Nếu > 0 > 1 + 1 + 2 1 + 4 > 1; 1 + 7 > ⟹ 7 > 7; 6 < 6; 8 < 8 nhân hai vế của hệ cho (1 − ) và (1 − ) ta được 1 + 2 1 + 2 1 + 4 = 1 + 7 (1 − ) 1 + 2 1 + 2 1 + 4 = 1 + 7 (1 − ) 1 − 8 = 1 + 7 1 − = − 7 + 7 − + 1 1 − 8 = 1 + 7 1 − = − 7 + 7 − + 1 ⟹ 8 − 8 = 7 − 7 + − + 6 − 6 Vế trái dương vế phải âm nên phương trình vô nghiệm Tóm lại hệ có hai nghiệm 0; 0 ; (−1; −1). Câu 4 = a. cos + 1 + . cos + 2 + . cos + 3 3,0 đ Ta có cos( + 훼) = cos . cos 훼 − sin . sin 훼 = a. cos + 1 + . cos + 2 + . cos + 3 = cos . cos 1 − sin . sin 1 + cos . cos 2 − sin . sin 2 + (cos . cos 3 − sin . sin 3) = (a cos 1 + cos 2 + cos 3) cos − ( sin 1 + sin 2 + sin 3) sin = . cos + 휙 Với ; 휙 là các hằng số Do = 0 nhận hai giá trị 0 khi khoảng cách giửa hai số liên tiếp bằng với điều này xảy ra khi = 0 Vậy = 0 với mọi giá trị ∈ 0; 2018 . Câu 5 푛(푛 + 1) 푛+1 = 푛 푛 − 1 푛 − 푛 − 2 푛−1 3,0 đ 푛 푛 + 1 푛+1 = 푛 푛 − 1 푛 − 푛 − 2 푛−1 ⟺ 푛 푛 + 1 푛+1 − 푛 = 푛 − 2 푛 푛 − 푛−1 Thay 푛 = 1 ⟹ 2 2 = 0 = 1 Thay 푛 = 2 ⟹ 3 3 − 2 = 0 Thay 푛 = 3 ⟹ 3 4 4 − 3 = 3 3 − 2 = 0