Bài giảng Giải tích Lớp 12 - Chuyên đề: Các phép toán trên tập số phức. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

Nội dung text: Bài giảng Giải tích Lớp 12 - Chuyên đề: Các phép toán trên tập số phức. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÀI PHÁT THANH – TRUYỀN HÌNH AN GIANG AN GIANG HƯỚNG DẪN HỌC TẬP QUA TRUYỀN HÌNH MÔN TOÁN LỚP 12 Chuyên đề: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
2. I PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ HAI SỐ PHỨC + Vectơ = (1; 3) biểu diễn số 푃( + ′) phức = 1 + 3푖. 4 + Vectơ ′ = (2; 1) biểu diễn số (z) 3 phức ′ = 2 + 푖. 푄( − ′) + Vectơ + ′ = 푃 = (3; 4) 2 biểu diễn số phức z + ′ = 3 + 4푖. 1 ′( ′) + Vectơ − ′ = ′ = 푄 = (−1; 2) biểu diễn số phức −1 1 2 3 z − ′ = −1 + 2푖. 3
3. I PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ HAI SỐ PHỨC 2. Các tính chất của phép cộng: Cho các số phức z, 1, 2, 3. ( ) Phép cộng có các tính chất sau: . Giao hoán: + = + . 1 2 2 1 − . Kết hợp: 1 + 2 + 3 = 1 + ( 2+ 3). . Cộng với 0: + 0 = 0 + = . . Cộng với số đối: − ′(− ) Với mỗi số phức = + 푖 và − = − − 푖, thì + − = − + = 0 Vậy số −z được gọi là số đối của số phức z. 5
4. I PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ HAI SỐ PHỨC Ví dụ 2: Thực hiện các phép tính a). 1 + 2푖 − 1 + 5푖 + 7푖 = 1 + 2푖 − 1 − 5푖 + 7푖 = 0 + 4푖 = 4푖. b). 3푖 + 5 + 2 − 3푖 − 8 = 3푖 + 5 + 2 − 3푖 − 8 = −1. c). 6 − 8푖 + 9푖 + 7 − 10 = 6 − 8푖 + 9푖 + 7 − 10 = 3 + 푖. 7
5. I PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ HAI SỐ PHỨC Ví dụ 3: Cho = 1 + 2푖, ′ = 2 + 3푖. Tìm số phức liên hợp của các số phức + ′, − ′. Theo đề bài, ta có: + + ′ = ҧ + ′ഥ = 1 − 2푖 + 2 − 3푖 = 3 − 5푖. + − ′ = ҧ − ഥ′ = 1 − 2푖 − 2 + 3푖 = −1 + 푖. 9
6. II PHÉP NHÂN HAI SỐ PHỨC 2). Tính chất của phép nhân Cho các số phức , 1, 2, 3. Phép nhân có các tính chất sau: + Giao hoán: 1. 2 = 2. 1. + Kết hợp: ( 1. 2). 3. = 1. ( 2. 3). + Nhân với 1: . 1 = 1. = . + Phân phối: 1 2 + 3 = 1. 2 + 1. 3. Nhận xét: Mọi số thực và mọi số phức z = + 푖 , ∈ ℝ Ta có: + 푖 = + 0푖 + 푖 = + 푖. Đặc biệt: 0. = 0 với mọi số phức . 11
7. II PHÉP NHÂN HAI SỐ PHỨC Lưu ý: Cho hai số phức = + 푖, ′ = + 푖. Ta có: . ′ = + 푖 + 푖 = − + + 푖 = − − + 푖 1 . ҧ. ′ഥ = − 푖 − 푖 = − 푖 − 푖 + 푖2 = − − + 푖 2 . Từ (1) và (2) suy ra: 풛. 풛′ = 풛ത. 풛ഥ′ (ퟒ) 13
8. II PHÉP NHÂN HAI SỐ PHỨC Ví dụ 7: (Trích đề thi THPT Quốc Gia mã đề 103 năm 2019) Cho hai số phức 1 = 1 + 푖, 2 = 2 + 푖. Trên mặt phẳng tọa độ , điểm biểu diễn số phức 1 + 2 2 có tọa độ là A. (2; 5). B.(3; 5). C. (5; 2). D. (5; 3). Bài giải Theo đề bài, ta có: 1 + 2 2 = 1 + 푖 + 2 2 + 푖 = 1 + 푖 + 4 + 2푖 = 5 + 3푖 Điểm biểu diễn số phức 1 + 2 2 có tọa độ là (5;3) Chọn đáp án D 15
9. II PHÉP NHÂN HAI SỐ PHỨC Lưu ý: Cho số phức = + 푖, ( , ∈ ℝ) ⟹ ҧ = − 푖 Tích của hai số phức liên hợp: . ҧ = + 푖 − 푖 = 2 − 푖 2 = 2 + 2 = 2 Vậy tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó. 풛. 풛ത = 풛 ( ) 17
10. III PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC Ví dụ 10: Cho số phức z = + 푖, ′ = + 푖 ( , , , ∈ ℝ), khác 0. Hãy tính ′. ҧ ) ′. ҧ. b) z. ҧ. ) . z. ҧ a) ′. ҧ = + 푖 − 푖 = − 푖 + 푖 − 푖2 = + + − 푖. b) . ҧ = + 푖 − 푖 = 2 + 2. ′. ҧ + − ′ + − ) = + 푖 ⟹ = + 푖. z. ҧ 2 + 2 2 + 2 z 2 + 2 2 + 2 + − ′ Vậy + 푖 là kết quả của phép chia . 2 + 2 2 + 2 19
11. III PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC 3 + 2푖 Ví dụ 11: Thực hiện phép chia . 2 + 3푖 Giải: Theo đề bài, ta có: 3 + 2푖 (3 + 2푖)(2 − 3푖) 6 − 9푖 + 4푖 − 6푖2 = = 2 + 3푖 (2 + 3푖)(2 − 3푖) 22 + 32 6 − 5푖 + 6 12 − 5푖 12 5 = = = − 푖. 4 + 9 13 13 13 3 + 2푖 12 5 Vậy = − 푖. 2 + 3푖 13 13 21
12. III PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC Ví dụ 13: Tìm số phức thỏa 1 + 2푖 = 3 − 푖. Giải. Theo đề bài, ta có: 1 + 2푖 − 3 = −푖 ⇔ 1 + 2푖 − 3 = −푖 ⟺ −2 + 2푖 = −푖 −푖 −푖 −2 − 2푖 ⟺ = ⟺ = −2 + 2푖 −2 + 2푖 −2 − 2푖 −2 + 2푖 −2 + 2푖 1 1 ⟺ = ⟺ = ⟺ = − + 푖. 4 + 4 8 4 4 1 1 Vậy = − + 푖. 4 4 23
13. IV CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC + Nếu = + 푖, khác 0 thì chúng ta tìm căn bậc hai như sau: Goi 푤 = + 푖 , ∈ ℝ là căn bậc hai của Ta có: 푤2 = ⇔ 2 + 2 푖 + 2. 푖2 = + 푖 2 − 2 = ⇔ ቊ (1) 2 = Vậy mỗi cặp số thực ( ; ) nghiệm đúng hệ phương trình (1) cho ta một căn bậc hai + 푖 của số phức + 푖. Tức là: Căn bậc hai của số phức 풛 là số phức 풘 thỏa 풘 = 풛 8 . 25
14. Ví dụ 14: c) Tìm căn bậc hai = −5 + 12푖. Gọi 푤 = + 푖 , ∈ ℝ là căn bậc hai của . Theo đề bài, ta có: 푤2 = ⇔ 2 + 2 푖 + 2. 푖2 = −5 + 12푖 2 2 2 − 2 = −5 − = −5 (1) ⟺ ቊ ⟺ ቐ 6 2 = 12 = (2) 6 2 Lấy (2) thay vào (1) ta được 2 − = −5 ⟺ 4 + 5 2 − 36 = 0 2 = −2 ⟹ = −3 ⟺ ቈ = 4 ⟺ ቈ . 2 = −9 = 2 ⟹ = 3 Vậy −5 + 12푖 có hai căn bậc hai là −2 − 3푖, 2 + 3푖. Số phức z ≠ 0 luôn có hai căn bậc hai là 풘 và −풘 với 풘 = 풛 27
15. V PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Cách giải phương trình bậc hai 2 + + = 0 (với , , là các số thực, khác 0) trên tập số phức. + Tính biệt thức ∆= 2 − 4 ; + ∆<0 ⟹ ∆ có hai căn bậc hai thuần ảo là 푖 ∆ , −푖 ∆ ; − ± 푖 ∆ Vậy phương trình có hai nghiệm phức = (9) 1,2 2 29
16. V PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Ví dụ 15: Giải phương trình 2 + + 1 = 0 trên tập hợp số phức. Bài giải Tính biệt thức ∆= 12 − 4.1.1 = −3 = ( 3 . 푖)2. ⟹ ∆ có hai căn bậc hai thuần ảo là 푖 3, −푖 3. Vậy phương trình có hai nghiệm phức là − ± 푖 ∆ −1 ± 푖 3 = = . 1,2 2 2 31
17. V PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Ví dụ 16: Giải phương trình 4 − 2 2 − 3 = 0 (1) trên tập số phức. Bài giải 푡 = −1 Đặt t = z2, phương trình (1) trở thành: 푡2 − 2푡 − 3 = 0 ⇔ ቈ 1 푡2 = 3 2 2 = ±푖 ⟹ ൤ = −1 = 푖 ⟺ ቈ . 2 = 3 = ± 3 Vậy phương trình có bốn nghiệm = ±푖, = ± 3. 33
18. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. 35
19. Dạng 1. Thực hiện các phép toán trên tập số phức. Bài tập 2. Cho hai số phức 1 = 3 − 2푖, 2 = 1 + 4푖. Tìm phần thực, phần ảo, mô đun của số phức = 1. 2. Bài giải. Theo đề bài, ta có: 2 1. 2 = 3 − 2푖 1 + 4푖 = 3 + 12푖 − 2푖 − 8푖 = 3 + 12푖 − 2푖 + 8 = 11 + 10푖. Kết luận + Phần thực của số phức là 11 và phần ảo của số phức là 10. + Mô đun của số phức là = 112 + 102 = 221. 37
20. Dạng 3. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực. Bài tập 4. Gọi 1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 2 − 2 + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức = 1 + 2 . Bài giải ∆= 4 − 4.1.10 = −36 Suy ra: ∆ có hai căn bậc hai là ±6푖. 2 − 6푖 Phương trình có hai nghiệm là = = 1 − 3푖, = 1 + 3푖. 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1 + 2 = 1 − 3푖 + 1 + 3푖 = 1 + 9 + 1 + 9 = 20. 39
21. Dạng 4. Giải phương trình bậc ba với hệ số thực. Bài tập 6. Giải phương trình z3 − 1 = 0 trên tập số phức. = 1 (1) Ta có: 3 − 1 = 0 ⇔ − 1 2 + + 1 = 0 ⟺ ቈ . 2 + + 1 = 0 (2) Giải (2): ∆= 1 − 4.1.1 = −3. −1 ± 푖 3 Phương trình có hai nghiệm phức = . 1,2 2 −1 ± 푖 3 Vậy phương trình có ba nghiệm là 1, . 2 41
22. Dạng 5. Giải phương trình bậc bốn với hệ số thực. Bài tập 8. Giải phương trình 4 − = 0 trên tập số phức. Bài giải. = 0 Ta có: 4 − = 0 ⟺ 3 − 1 = 0 ⟺ ൤ . 3 − 1 = 0 (∗) = 1 (1) (∗) ⟺ 3 − 1 = 0 ⇔ − 1 2 + + 1 = 0 ⇔ ቈ . 2 + + 1 = 0 (2) Giải phương trình (2): ∆= 1 − 4.1.1 = −3. −1 ± 푖 3 Phương trình (2) có hai nghiệm phức = . 1,2 2 −1 ± 푖 3 Vậy phương trình có bốn nghiệm là 0, 1, . 2 43
23. Hướng dẫn tự học + Ghi lại các khái niệm và phép toán trên tập số phức: - Phần thực, phần ảo, môđun số phức, số phức liên hợp, số phức đối. - Các phép toán: Cộng , trừ, nhân, chia, số phức nghịch đảo, căn bậc hai của số phức. + Các trường hợp nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực. + Giải các bài tập 1a, 1b, 3a, 3d, 4, 5 trang 135, 1b, 1c, 2c, 2d, 3a, 3b, 4b, 4c trang 138, 1, 2 trang 140 sách giáo khoa chương trình chuẩn. 45