Bài giảng Giải tích Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Nội dung text: Bài giảng Giải tích Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG HƯỚNG DẪN HỌC TẬP ONLINE CHƯƠNG TRÌNH HỌC KỲ 2 MÔN TOÁN LỚP 12 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
2. I. Tính diện tích hình phẳng NỘI DUNG II. Tính thể tích CHÍNH III. Tính thể tích khối tròn xoay
3. I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Cho hàm số = ( ) liên tục ; . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số = ( ), trục hoành và hai đường thẳng = , = < . 풇 풙 ≥ , ∀ ∈ [ ; ] ⟹ 푆 = න
4. I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Tổng quát: = ( ) ( = 0) : ⟹ 푆 = න ( ) (1) = =
5. I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Chú ý: Nếu = 0 có nghiệm thuộc khoảng ; = 0 có 1 nghiệm = 0 có 2 nghiệm 1 < 2 1 2 푆( ) = න + න 푆( ) = න + න + න 1 2
6. VÍ DỤ 1: (THPTQG năm 2019 Mã đề 104) Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ. Gọi 푆 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường = , = 0, = −2, = 3 (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 1 3 1 3 퐀. 푆 = න − න . 퐁. S = − න + න . −2 1 −2 1 1 3 1 3 퐂. 푆 = න + න . 퐃. 푆 = − න − න . −2 1 −2 1 GIẢI 1 ≥ 0, ∀ ∈ −2; 1 ⟹ 푆1 = න 푆1 −2 3 3 푆2 ≤ 0, ∀ ∈ 1; 3 ⟹ 푆2 = න − = − න 1 1 1 3 ậ 푆 = 푆1 + 푆2 = න − න −2 1 Chọn phương án A
7. VÍ DỤ 3: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị +1 (C) :y = , trục hoành và đường thẳng = 2. +2 A. 3 + 2 ln 2. B. 3 − 2ln2. C. 3 − ln2. D. 3 + ln2. GIẢI Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: + 1 2 + 1 2 + 1 = 0 ⟺ = −1 ⟹ 푆 = න = න + 2 −1 + 2 −1 + 2 +1 (vì biểu thức không đổi dấu trên (−1; 2)) +2 2 1 2 S = න 1 − = ( − ln + 2 )ቚ = 2 − ln4 + 1 −1 + 2 −1 = 3 − 2 ln 2 = 3 − 2ln2. Chọn phương án B
8. I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Chú ý: Để khử dấu giá trị tuyệt đối, ta thường làm như sau Giải phương trình − ( ) = 0 trên khoảng ( ; ) • Nếu − ( ) = 0 không có nghiệm trên khoảng ( ; ) thì 푆( ) = න − ( ) = න [ − ] • Nếu − ( ) = 0 có nghiệm trên khoảng ( ; ). Giả sử các nghiệm thuộc khoảng ( ; ) của phương trình là 1, 2, , với < 1 < 2 < ⋯ < < c1 c2 b 푆( )= න [ − ] + න [ − ] + ⋯ + න [ − ] a c1 ck
9. VÍ DỤ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , = 2 − 2 , = − 2 + 4 , = 0, = 4 GIẢI . Áp dụng công thức 2 , ta có: 4 4 푆 = න ( 2−2 ) − (− 2 + 4 ) = න 2 2 − 6 0 0 = 0 Do 2 2 − 6 = 0 ⟺ ቈ nên: = 3 ∈ (0; 4) 3 4 푆 = න (2 2 − 6 ) + න 2 2 − 6 0 3 2 3 3 2 3 4 16 38 = − 3 2 ቚ + − 3 2 ቚ = −9 − 0 + − − (−9) = 3 0 3 3 3 3
10. II. TÍNH THỂ TÍCH 1. Thể tích vật thể Cắt một vật thể 풱 bởi hai mặt phẳng 푃 và 푄 vuông góc với trục lần lượt tại = , = ( < ). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với tại điểm ( ≤ ≤ ) cắt 풱 theo thiết diện có diện tích là 푆( ). Giả sử 푆( ) liên tục trên ; . Khi đó, thể tích V của phần vật thể 풱 giới hạn bởi hai mặt phẳng 푃 và 푄 được tính bởi công thức = න 푆 (3)
11. II. TÍNH THỂ TÍCH 2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt a. Thể tích khối chóp: Khối chóp có chiều cao h và diện tích bằng B. Chọn trục vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I sao cho gốc O trùng với đỉnh của khối chóp và có hướng xác định bởi . Khi đó: 푆( ) 2 2 + Diện tích thiết diện là: = ⟹ 푆 = . ℎ2 ℎ2 ℎ ℎ 2 3 ℎ +Thể tích là: = න . 2 = 2 . อ = 0 ℎ ℎ 3 3 0
12. III. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số = ( ), trục , hai đường thẳng = , = ( < ) quay quanh trục tạo thành một khối tròn xoay. Thiết diện của khối tròn xoay trên tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại ∈ ; là : hình tròn có bán kính. bằng ( ) . Diện tích thiết diện là: 푆 = 2( ) Vậy thể tích được tính bằng công thức = න 2 (4)
13. Ví dụ 9 (THPTQG năm 2017 Mã đề 104): Cho hình phẳng 풟 giới hạn bởi các đường cong = 2 + 1, trục hoành và hai đường thẳng = 0, = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay 풟 quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu? 4 4 퐀. . 퐁. 2 . 퐂. . 퐃. 2. 3 3 GIẢI Áp dụng công thức, ta có: 2 V = න 1 1 2 1 3 4 V = න 2 + 1 = න 2 + 1 = + อ = . 0 0 3 3 0 Chọn phương án A
14. TÓM TẮT NỘI DUNG BÀI HỌC 1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG = ( ) = 0 푆( ) = න (1) Trục hoành H : = ( ) tính = ≠ 0 = > 푆( ) = න − ( ) (2) 2. TÍNH THỂ TÍCH + Vật thể giới hạn giữa hai mặt phẳng = , = và có diện tích của thiết diện là S : = න 푆 (3) + Khối tròn xoay giới hạn giữa hai mặt phẳng = , = và biết đường sinh là y = : = න 2 (4)
15. XIN CHÂN THÀNH CÁM ƠN! CHÚC CÁC EM THẬT NHIỀU SỨC KHỎE, ÔN TẬP THẬT TỐT VÀ ĐẠT ĐƯỢC KẾT QUẢ CAO TRONG KỲ THI THPTQG