Bài giảng Giải tích Lớp 12 - Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Nội dung text: Bài giảng Giải tích Lớp 12 - Bài 2: Phương trình mặt phẳng

1. ¯ ¯ ¯Ax0 By0 Cz0 D¯ d(M0,(α)) p+ + + . ⇒ = A2 B2 C2 + + Định lí Trong không gian Oxyz, cho (α) : Ax By Cz D 0 và điểm M ¡x ;y ;z ¢. + + + = 0 0 0 0 Khoảng cách từ M0 đến (α), kí hiệu d(M0,α) được tính theo công thức ¯ ¯ ¯Ax0 By0 Cz0 D¯ d(M0,α) p+ + + . Chứng minh = A2 B2 C2 ¡ ¢ + + Gọi M1 x1;y1;z1 là hình chiếu của M0 lên (α). Ta thấy # » ¡ ¢ #» M1M0 x0 x1;y0 y1;z0 z1 , n (A;B;C) cùng phương nên M ¯# »=¯ #» − ¯# − » #»¯ − = 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¡ ¢ ¯ ¯M1M0¯ ¯n¯ ¯M1M0.n¯ ¯A(x0 x1) B y0 y1 C(z0 z1)¯ #» ¯ · = ¡ = − +¢¯ − + − n ¯Ax By Cz Ax By Cz ¯. = 0 + 0 + 0 + − 1 − 1 − 1 Vì M (α) nên Ax By Cz D 0 D Ax By Cz . 1 ∈ ¯# 1 +»¯ #»1 + 1 + = ⇒ = − 1 − 1 − 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Từ đó ta được ¯M1M0¯ ¯n¯ ¯Ax0 By0 Cz0 D¯ · = + + + α M1 ¯ ¯ ¯# »¯ ¯Ax By Cz D¯ ¯ ¯ 0 0 0 ¯M1M0¯ + ¯#»+¯ + ⇒ = ¯n¯
2. Lời giải 3.1 4.( 2) 2.3 4 5 Ta có d(A;(P)) | p+ − + + | . = 32 42 22 = p29 + + Chọn đáp án C Ví dụ 15. (Đề minh họa - THPT.QG 2017) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x 4y 2z 4 0 và điểm A(1; 2;3). Tính khoảng cách d từ A đến (P). + + + = − 5 5 5 p5 A. d . B. d . C. d . D. d . = 9 = 29 = p29 = 3
3. 3.1 4.( 2) 2.3 4 5 | p+ − + + | . = 32 42 22 = p29 + + Chọn đáp án C Ví dụ 15. (Đề minh họa - THPT.QG 2017) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x 4y 2z 4 0 và điểm A(1; 2;3). Tính khoảng cách d từ A đến (P). + + + = − 5 5 5 p5 A. d . B. d . C. d . D. d . = 9 = 29 = p29 = 3 Lời giải Ta có d(A;(P))
4. Ví dụ 15. (Đề minh họa - THPT.QG 2017) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x 4y 2z 4 0 và điểm A(1; 2;3). Tính khoảng cách d từ A đến (P). + + + = − 5 5 5 p5 A. d . B. d . C. d . D. d . = 9 = 29 = p29 = 3 Lời giải 3.1 4.( 2) 2.3 4 5 Ta có d(A;(P)) | p+ − + + | . = 32 42 22 = p29 + + Chọn đáp án C
5. Trên (P) lấy M(0;0;5). Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là: ¡ ¢ ¡ ¢ 0 2 0 2 5 3 7 d (P),(Q) d M,(Q) | p+ · + · − | . = = 12 22 22 = 3 + + Chọn đáp án B Ví dụ 16. (Đề minh họa THPTQG 2018) Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): x 2y 2z 10 0 và (Q): x 2y 2z 3 0 bằng 8 + + 7− = + + − = 4 A. . B. . C. 3. D. . 3 3 3 Lời giải Ta thấy (P) ∥ (Q). M P Q
6. ¡ ¢ 0 2 0 2 5 3 7 d M,(Q) | p+ · + · − | . = = 12 22 22 = 3 + + Chọn đáp án B Ví dụ 16. (Đề minh họa THPTQG 2018) Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): x 2y 2z 10 0 và (Q): x 2y 2z 3 0 bằng 8 + + 7− = + + − = 4 A. . B. . C. 3. D. . 3 3 3 Lời giải Ta thấy (P) ∥ (Q). Trên (P) lấy M(0;0;5). Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là: M P d¡(P),(Q)¢ Q
7. 7 . = 3 Chọn đáp án B Ví dụ 16. (Đề minh họa THPTQG 2018) Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): x 2y 2z 10 0 và (Q): x 2y 2z 3 0 bằng 8 + + 7− = + + − = 4 A. . B. . C. 3. D. . 3 3 3 Lời giải Ta thấy (P) ∥ (Q). Trên (P) lấy M(0;0;5). Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là: M ¡ ¢ ¡ ¢ 0 2 0 2 5 3 P d (P),(Q) d M,(Q) | p+ · + · − | = = 12 22 22 + + Q
8. Ví dụ 16. (Đề minh họa THPTQG 2018) Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): x 2y 2z 10 0 và (Q): x 2y 2z 3 0 bằng 8 + + 7− = + + − = 4 A. . B. . C. 3. D. . 3 3 3 Lời giải Ta thấy (P) ∥ (Q). Trên (P) lấy M(0;0;5). Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là: M ¡ ¢ ¡ ¢ 0 2 0 2 5 3 7 P d (P),(Q) d M,(Q) | p+ · + · − | . = = 12 22 22 = 3 + + Q Chọn đáp án B
9. 2 2 1 2 1 1 Ta có d(I,(P)) |p· − + · + | 2. = 22 ( 1)2 22 = Vậy phương trình mặt cầu (S) có+ tâm− I(+2;1;1) và có 2 bán kính R 2 là (x 2)2 ¡y 1¢ (z 1)2 4. = − + − + − = Ví dụ 17. Trong không gian Oxyz, cho điểm I(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x y 2z 1 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng− (+P). + = Lời giải Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d(I,(P)) R. I = R P
10. 2 (x 2)2 ¡y 1¢ (z 1)2 4. − + − + − = Ví dụ 17. Trong không gian Oxyz, cho điểm I(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x y 2z 1 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng− (+P). + = Lời giải Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên 2 2 1 2 1 1 d(I,(P)) R. Ta có d(I,(P)) |p· − + · + | 2. I = = 22 ( 1)2 22 = Vậy phương trình mặt cầu (S) có+ tâm− I(+2;1;1) và có R bán kính R 2 là = P
11. #» #» n 0 giá vuông góc (α) #» 6= Véc-tơ pháp tuyến n ¡A;B;C¢ = Ax By Cz D 0 + + + = ¡ ¢ A(x x0) B y y0 C(z z0) 0 PTTQ − + − + − = Trường hợp đặc biệt Phương trình mặt phẳng Song song: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 6= D2 A B C D Vị trí tương đối Trùng nhau: 1 1 1 1 A2 = B2 = C2 = D2 # » # » # » # » Cắt nhau: n kn , vuông góc n n 0 1 6= 2 1 · 2 = Khoảng cách Ax0 By0 Cz0 D d(M0;(α)) | + + + | = pA2 B2 C2 + + CỦNG CỐ
12. #» #» n 0 giá vuông góc (α) #» 6= Véc-tơ pháp tuyến n ¡A;B;C¢ = Ax By Cz D 0 + + + = ¡ ¢ A(x x0) B y y0 C(z z0) 0 PTTQ − + − + − = Trường hợp đặc biệt Song song: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 6= D2 A B C D Vị trí tương đối Trùng nhau: 1 1 1 1 A2 = B2 = C2 = D2 # » # » # » # » Cắt nhau: n kn , vuông góc n n 0 1 6= 2 1 · 2 = Khoảng cách Ax0 By0 Cz0 D d(M0;(α)) | + + + | = pA2 B2 C2 + + CỦNG CỐ Phương trình mặt phẳng
13. #» #» n 0 giá vuông góc (α) #» 6= n ¡A;B;C¢ = Ax By Cz D 0 + + + = ¡ ¢ A(x x0) B y y0 C(z z0) 0 PTTQ − + − + − = Trường hợp đặc biệt Song song: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 6= D2 A B C D Vị trí tương đối Trùng nhau: 1 1 1 1 A2 = B2 = C2 = D2 # » # » # » # » Cắt nhau: n kn , vuông góc n n 0 1 6= 2 1 · 2 = Khoảng cách Ax0 By0 Cz0 D d(M0;(α)) | + + + | = pA2 B2 C2 + + CỦNG CỐ Véc-tơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng
14. #» #» n 0 giá vuông góc (α) #» 6= n ¡A;B;C¢ = Ax By Cz D 0 + + + = A(x x ) B¡y y ¢ C(z z ) 0 − 0 + − 0 + − 0 = Trường hợp đặc biệt Song song: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 6= D2 A B C D Vị trí tương đối Trùng nhau: 1 1 1 1 A2 = B2 = C2 = D2 # » # » # » # » Cắt nhau: n kn , vuông góc n n 0 1 6= 2 1 · 2 = Khoảng cách Ax0 By0 Cz0 D d(M0;(α)) | + + + | = pA2 B2 C2 + + CỦNG CỐ Véc-tơ pháp tuyến PTTQ Phương trình mặt phẳng
15. #» #» n 0 giá vuông góc (α) #» 6= n ¡A;B;C¢ = Ax By Cz D 0 + + + = A(x x ) B¡y y ¢ C(z z ) 0 − 0 + − 0 + − 0 = Trường hợp đặc biệt Song song: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 6= D2 Trùng nhau: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 = D2 # » # » # » # » Cắt nhau: n kn , vuông góc n n 0 1 6= 2 1 · 2 = Khoảng cách Ax0 By0 Cz0 D d(M0;(α)) | + + + | = pA2 B2 C2 + + CỦNG CỐ Véc-tơ pháp tuyến PTTQ Phương trình mặt phẳng Vị trí tương đối
16. #» #» n 0 giá vuông góc (α) #» 6= n ¡A;B;C¢ = Ax By Cz D 0 + + + = A(x x ) B¡y y ¢ C(z z ) 0 − 0 + − 0 + − 0 = Trường hợp đặc biệt Song song: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 6= D2 Trùng nhau: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 = D2 # » # » # » # » Cắt nhau: n kn , vuông góc n n 0 1 6= 2 1 · 2 = Ax0 By0 Cz0 D d(M0;(α)) | + + + | = pA2 B2 C2 + + CỦNG CỐ Véc-tơ pháp tuyến PTTQ Phương trình mặt phẳng Vị trí tương đối Khoảng cách
17. #» n ¡A;B;C¢ = Ax By Cz D 0 + + + = A(x x ) B¡y y ¢ C(z z ) 0 − 0 + − 0 + − 0 = Trường hợp đặc biệt Song song: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 6= D2 Trùng nhau: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 = D2 # » # » # » # » Cắt nhau: n kn , vuông góc n n 0 1 6= 2 1 · 2 = Ax0 By0 Cz0 D d(M0;(α)) | + + + | = pA2 B2 C2 + + CỦNG CỐ #» #» n 0 giá vuông góc (α) 6= Véc-tơ pháp tuyến PTTQ Phương trình mặt phẳng Vị trí tương đối Khoảng cách
18. Ax By Cz D 0 + + + = A(x x ) B¡y y ¢ C(z z ) 0 − 0 + − 0 + − 0 = Trường hợp đặc biệt Song song: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 6= D2 Trùng nhau: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 = D2 # » # » # » # » Cắt nhau: n kn , vuông góc n n 0 1 6= 2 1 · 2 = Ax0 By0 Cz0 D d(M0;(α)) | + + + | = pA2 B2 C2 + + CỦNG CỐ #» #» n 0 giá vuông góc (α) #» 6= Véc-tơ pháp tuyến n ¡A;B;C¢ = PTTQ Phương trình mặt phẳng Vị trí tương đối Khoảng cách
19. A(x x ) B¡y y ¢ C(z z ) 0 − 0 + − 0 + − 0 = Trường hợp đặc biệt Song song: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 6= D2 Trùng nhau: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 = D2 # » # » # » # » Cắt nhau: n kn , vuông góc n n 0 1 6= 2 1 · 2 = Ax0 By0 Cz0 D d(M0;(α)) | + + + | = pA2 B2 C2 + + CỦNG CỐ #» #» n 0 giá vuông góc (α) #» 6= Véc-tơ pháp tuyến n ¡A;B;C¢ = Ax By Cz D 0 + + + = PTTQ Phương trình mặt phẳng Vị trí tương đối Khoảng cách
20. Trường hợp đặc biệt Song song: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 6= D2 Trùng nhau: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 = D2 # » # » # » # » Cắt nhau: n kn , vuông góc n n 0 1 6= 2 1 · 2 = Ax0 By0 Cz0 D d(M0;(α)) | + + + | = pA2 B2 C2 + + CỦNG CỐ #» #» n 0 giá vuông góc (α) #» 6= Véc-tơ pháp tuyến n ¡A;B;C¢ = Ax By Cz D 0 + + + = ¡ ¢ A(x x0) B y y0 C(z z0) 0 PTTQ − + − + − = Phương trình mặt phẳng Vị trí tương đối Khoảng cách
21. Song song: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 6= D2 Trùng nhau: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 = D2 # » # » # » # » Cắt nhau: n kn , vuông góc n n 0 1 6= 2 1 · 2 = Ax0 By0 Cz0 D d(M0;(α)) | + + + | = pA2 B2 C2 + + CỦNG CỐ #» #» n 0 giá vuông góc (α) #» 6= Véc-tơ pháp tuyến n ¡A;B;C¢ = Ax By Cz D 0 + + + = ¡ ¢ A(x x0) B y y0 C(z z0) 0 PTTQ − + − + − = Trường hợp đặc biệt Phương trình mặt phẳng Vị trí tương đối Khoảng cách
22. Trùng nhau: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 = D2 # » # » # » # » Cắt nhau: n kn , vuông góc n n 0 1 6= 2 1 · 2 = Ax0 By0 Cz0 D d(M0;(α)) | + + + | = pA2 B2 C2 + + CỦNG CỐ #» #» n 0 giá vuông góc (α) #» 6= Véc-tơ pháp tuyến n ¡A;B;C¢ = Ax By Cz D 0 + + + = ¡ ¢ A(x x0) B y y0 C(z z0) 0 PTTQ − + − + − = Trường hợp đặc biệt Phương trình mặt phẳng Song song: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 6= D2 Vị trí tương đối Khoảng cách
23. # » # » # » # » Cắt nhau: n kn , vuông góc n n 0 1 6= 2 1 · 2 = Ax0 By0 Cz0 D d(M0;(α)) | + + + | = pA2 B2 C2 + + CỦNG CỐ #» #» n 0 giá vuông góc (α) #» 6= Véc-tơ pháp tuyến n ¡A;B;C¢ = Ax By Cz D 0 + + + = ¡ ¢ A(x x0) B y y0 C(z z0) 0 PTTQ − + − + − = Trường hợp đặc biệt Phương trình mặt phẳng Song song: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 6= D2 A B C D Vị trí tương đối Trùng nhau: 1 1 1 1 A2 = B2 = C2 = D2 Khoảng cách
24. Ax0 By0 Cz0 D d(M0;(α)) | + + + | = pA2 B2 C2 + + CỦNG CỐ #» #» n 0 giá vuông góc (α) #» 6= Véc-tơ pháp tuyến n ¡A;B;C¢ = Ax By Cz D 0 + + + = ¡ ¢ A(x x0) B y y0 C(z z0) 0 PTTQ − + − + − = Trường hợp đặc biệt Phương trình mặt phẳng Song song: A1 B1 C1 D1 A2 = B2 = C2 6= D2 A B C D Vị trí tương đối Trùng nhau: 1 1 1 1 A2 = B2 = C2 = D2 # » # » # » # » Cắt nhau: n kn , vuông góc n n 0 1 6= 2 1 · 2 = Khoảng cách