Bài giảng Đại số và Giải tích Lớp 11 - Bài: Ôn tập giới hạn của hàm số - Trường THCS & THPT Mỹ Hòa Hưng

Nội dung text: Bài giảng Đại số và Giải tích Lớp 11 - Bài: Ôn tập giới hạn của hàm số - Trường THCS & THPT Mỹ Hòa Hưng

1. ÔN TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
2. ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I. Một số giới hạn đặc biệt của hàm số cần nhớ 1/ limc== c 2 / lim x x 0 Với: x→→ x x x 00c là hằng số 3 / limc== c 4 / lim c c k là số nguyên dương xx→− →+ cc 5 / limkk== 0 6 / lim 0 xx→− xx →+ 7 / lim xk = + x→+ k − khi k là số lẻ 8 / lim x = x→− + khi k là số chẵn
3. ÔN TẬP: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM II. Các định lí, quy tắc về giới hạn của hàm số Nhận xét 1: 2.Định lí 2 lim()fxL = Định lí này cho ta biết về sự tồn tại xx→ 0 của giới hạn hàm số tại 1 điểm x0 ==lim()lim()fxfxL -Khi giới hạn bên trái và bên phải của −+ xxxx→→00 h/s tại 1 điểm bằng nhau thì h/s tồn tại giới hạn tại điểm đó Nhận xét 2: x a): xxxx→ 00 a x x0 b Có nghĩa là x tiến về x0 từ cả 2 phía trái và phải x − x0 b b): xxxx→ 00 + xx→ 0 Có nghĩa là x chỉ tiến về x0 từ 1 phía bên trái + a x x0 c): x→ x00 x x − xx→ 0 Có nghĩa là x chỉ tiến về x0 từ 1 phía bên phải
4. ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ B. HỆ THỐNG, PHÂN NHÓM, DẠNG - CÁC GIỚI HẠN THƯỜNG GẶP CỦA HÀM SỐ I. Nhóm giới hạn của hàm số tại 1 điểm 1) Dạng giới hạn của hàm số bằng giá trị của hàm số: lim()()fxfx = 0 xx→ 0 lim()0hx = Nhận xét: 0 hx() xx→ 0 -Dạng vô định 0/0 là 1 dạng quan trọng mà 2) Dạng vô định : lim  0 xx→ 0 qx( ) lim()0qx = học sinh cần quan tâm và nắm vững phương xx→ 0 pháp giải a)Trường hợp hx () mà h(x), q(x) là đa thức: thì ta khử dạng vô định bằng phương pháp tách nhân tử qx() b)Trường hợp hx () mà h(x), q(x) có chứa căn thức (bậc 2, bậc 3): thì ta khử dạng vô định qx() bằng phương pháp nhân lượng liên hợp của hằng đẳng thức tương ứng (a− b )( a + b ) = a22 − b *Các hằng đẳng thức liên quan: (aba− )(2 + abb + 2 ) = ab 3 − 3 ; ( aba + )( 2 − abb + 2 ) = ab 3 + 3
5. ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ B. HỆ THỐNG, PHÂN NHÓM, DẠNG - CÁC GIỚI HẠN THƯỜNG GẶP CỦA HÀM SỐ I. Nhóm giới hạn của hàm số tại 1 điểm 4. Dạng giới hạn 1 bên tại 1 điểm, ta có Nhận xét: Ở giới hạn 1 bên thì các trường hợp: lim()fxa = ta thực hiện tương tự giống − xx→ 0 a) Trường hợp kết quả là hữu hạn (1 số): như tại 1 điểm cho trường hợp lim()fxb = + có kết quả hữu hạn (1 số) và xx→ 0 lim(f ) xL= cho trường hợp có kết quả vô −  xx→ 0 *Đặc biệt:  =limf ( xL ) cực (dạng 1, 2, 3 đã trình bày lim(f ) xL= xx→ 0 + ở trên) xx→ 0  *Còn nếu: lim( f )lim( xf x ) thì không tồn tại limfx ( ) −+ xxxx→→ xx→ 0 00limfx ( ) = − xx→ 0 b) Trường hợp kết quả là vô cực: limfx ( ) = + xx→ 0 Chú ý: Giới hạn 1 bên thường gặp ở hàm số không xác định tại 1 điểm nào đó hoặc hàm số được cho bằng nhiều (từ 2) công thức
6. ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT SỐ LƯU Ý: -Việc phân nhóm, dạng ở trên chỉ là tương đối nhằm giúp các em dễ hình dung về nội dung cơ bản của bài học. Ngoài những dạng cơ bản đã hệ thống thì vẫn còn nhiều dạng nâng cao khác mà các em có thể nghiên cứu ở các tài liệu tham khảo khác. -Khi thực hiện các bài toán về giới hạn thì việc nhận dạng các hàm số và kĩ thuật giải tương ứng là rất quan trọng. Thầy hy vọng với cách hệ thống như trên sẽ giúp các em củng cố được kiến thức trọng tâm của bài học GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ, cũng như sẽ dễ dàng thực hiện được 1 số dạng toán cơ bản về giới hạn hàm số. Sau đây, thầy sẽ trình bày một số ví dụ minh họa cho các dạng giới hạn thuộc 2 nhóm đã hệ thống ở trên:
7. ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ C. MỘT SỐ VÍ DỤ I. Nhóm giới hạn tại 1 điểm *Sơ đồ Hooc-ne: Tìm đa thức g(x) trong f(x) =(x - x0).g(x) với g(x) có bậc nhỏ hơn bậc của f(x) 1 bậc. Nên ta chỉ cần tìm các hệ số của g(x). Sơ đồ là 1 bảng 2 dòng như sau: -Dòng 1: Từ ô thứ 2, sắp xếp các hệ số của đa thức f(x) theo số mũ giảm dần, khuyết hạng tử bậc nào thì hệ số của hạng tử đó bằng 0 -Dòng 2:Ô thứ nhất là nghiệm x0 của f(x),ô cuối cùng luôn bằng 0, các ô còn lại (ô 2->ô áp chót) là hệ số của g(x).Ta tìm như sau: ô thứ 2 là hạ hệ số đầu của f(x) hạ xuống,các hệ số ở các ô còn lại tìm theo quy luật:lấy hệ số liền trước nó nhân với nghiệm x0 rồi cộng với hệ số ở ô trên cùng cột 3 2 3 2 2 Ví dụ: Cho đa thức bậc 3: ax +bx +cx+d có nghiệm x0 thì ax +bx +cx+d=(x – x0)(a’x +b’x+c’) có bảng tìm hệ số a’, b’, c’ như sau: a b c d x0 a’=? b’=? c’=? 0 a’=a b’=a’.x0+b c’=b’.x0+c 0=c’.x0+d Hạ a dòng Chổ này kết quả phải trên xuống luôn bằng 0
8. ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ C. MỘT SỐ VÍ DỤ I. Nhóm giới hạn tại 1 điểm *Dạng vô định 0/0 Ví dụ 2: 22 xx−3 + 2 1 − 3.1 + 2 0 2 c)lim ; = Tam thức bậc hai x - 3x+2 x→1 x −−1 1 1 0 có 2 nghiệm là 1 và 2 nên, ta 2 (x −1)(x − 2) có: x - 3x+2=1.(x - 1)(x - 2) = lim= lim(x − 2) = 1 − 2 = − 1 xx→→11x −1 2xx22− 3 − 5 2.( − 1) − 3.( − 1) − 5 0 d) lim ; = Tam thức bậc hai 2x2 - 3x-5 có 2 x→−1 x22−1 ( − 1) − 1 0 nghiệm là -1 và 5/2 nên ta có: 5 5 5 2x2 - 3x-5=2.(x + 1)(x – 5/2) 2( x +1) xx− 2 − 2 − 1 − 2 2 2 2 2 2 7 Còn: x -1 = x -1 = (x -1)(x+1) =lim = lim = = xx→−11(xx− 1)(x +1) →− − 1 −11 − 2
9. ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ C. MỘT SỐ VÍ DỤ Nhận xét:Ở đây là phân thức I. Nhóm giới hạn tại 1 điểm chưa căn bậc 2 .Để khử căn *Dạng vô định 0/0 bậc 2 của lượng x +− 33 Ví dụ 2: Ta nhân lượng liên hợp của nó x +336 −+ 330 − là x ++ 33 cho cả tử và g)lim; = mẫu vì (a-b)(a+b)=a2-b2 . x→6 x −−66 60 Khi đó, tử thức biến đổi như sau: ( x +−33)( x ++33) (3)x +− 9 ==limlim xx+3 −+ 33 + 3 xx→→66(6)(6)33xx−−+( +x ++33) ( x ) ( )( ) 2 x − 6 111 =+xx −3 = 32 + ( − 3) 9 ===limlim ( ) xx→→66(6)x − ( x ++33) x +336 ++ 33 + 6 =−x 6 Chú ý: Nếu lượng chứa căn bậc 2 nằm ở mẫu thì ta cũng thực hiện tương tự
10. ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ C. MỘT SỐ VÍ DỤ I. Nhóm giới hạn tại 1 điểm *Dạng a / 0 (với a khác 0) Ví dụ 3: 252.251x −−− 212.113x ++ b)lim; =→ a)lim; =→ 22 22 x→2 (2)(22)0x −− x→1 (1)(11)0x −− lim(25)1x −= − 0 lim(21)x + 3 = 0 x→2 Ta có: x→1 Ta có: 2 2 2 2 lim20;2(xxx−= : (2)0)  − lim10;1:(xxx−= (1)0)  − x→2 x→1 25x − 21x + Suy ra: Suy ra: lim = + lim 2 = − x→1 (1)x − 2 x→2 (2)x − a Nhận xét: 2 câu trên ta sử dụng quy tắc chia: → (a 0) (1 số khác 0 trên 0 tiến đến vô cực) 0
11. ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ C. MỘT SỐ VÍ DỤ I. Nhóm giới hạn tại 1 điểm *Dạng giới hạn 1 bên tại 1 điểm Ví dụ 5: Tìm các giới hạn sau: 2x − 7 2.1 − 7 − 5 2x − 7 2.1 − 7 − 5 b) lim ; = → a) lim ; = → x→1+ − x −−1 1 1 0 x→1 x −−1 1 1 0 lim(27)x −=− 2.1 = 75 − 0 lim(27)x −=− 2.1 = 75 − 0 x→1+ x→1− Ta có: Ta có: lim(1)xxx− 1 = 1 − 0;1:1 =  0 − lim(1)xxx− 1 = 1 − 0;1:1 =  0 − + − x→1 x→1 27x − 27x − Suy ra: lim = + Suy ra: lim = − x→1− x −1 x→1+ x −1 a Nhận xét: 2 câu trên ta cũng sử dụng quy tắc chia: → (a 0) (1 số khác 0 trên 0 tiến đến vô cực) 0
12. ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ C. MỘT SỐ VÍ DỤ II. Nhóm giới hạn tại vô cực *Dạng hàm số là đa thức, phân thức (đa/đa) Ví dụ 6: Tìm các giới hạn sau: 6x2 ++3x 1 6 3x +1 Nhận xét: d) lim2 ;( 0) c) lim2 ; =− 2 x→− x→− −3x +−23 5x + 2 -Câu c: Tử và mẫu cùng 1 bậc=> kq bằng hs bậc 2 31 x 3 + x 6 ++ x cao nhất/ hs bậc cao nhất 2 = lim xx x→− -Câu d: bậc tử nhỏ hơn = lim 2 2 x→− 2 x 5 + 2 bậc mẫu=> kq bằng 0 2 x x −+3 2 x 1 3 + 31 13 x 6 ++ =lim . = 0. = 0 2 6 x→− 2 =limx x = = − 2 x 5 + 5 x→− 2 x2 −+3 −3 x2
13. ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ C. MỘT SỐ VÍ DỤ NX: Giới hạn của hàm số tại vô cực cơ bản thực hiện tương tự II. Nhóm giới hạn tại vô cực như giới hạn của dãy số. Nhưng có sự khác nhau giữa x → + và x →− . Và 2 ví dụ sau đây cho ta thấy được điiều đó: *Dạng hàm số có chứa căn thức Ví dụ 7: Tìm các giới hạn sau: 2 2 2 xx+−12 x(1+− 1/ x ) 2 x xx2 ++13 x(1++ 1/ x ) 3 x b) lim= lim a) lim= lim xx→− 3xx++ 1 →− 3 1 xx→+ 2xx++ 1 →+ 2 1 −xx1+− 1/x 2 −x( 1++ 1/x 2) x 1++ 1/x 3x x( 1++ 1/x 3) ==lim lim ==lim lim xx→− 3x ++1 →− x (3 1/x ) xx→+ 2x ++1 →+ x (2 1/x ) 1 − 12 + + 1 x −+( 1 2) 13++ = lim = = − 1 x 13+ x→− 1 =lim = = 2 3+ 3 x→+ 1 2 + 2 x x limxx2 = lim limxx2 =− lim ( ) xx→+ →+ xx→− →−